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El Momento Angular de un Electrón

Creo que puedo ver cómo la idea de Bohr de diferentes niveles de energía se relaciona con la fórmula ce Balmer, pero no entiendo cómo entra el momento angular.

Bohr sabía que la energía de un fotón era igual a la constante de Planck multiplicada por su frecuencia (esta fórmula fué decubierta por Einstein furante sus trabajos sobre el efecto fotoeléctrico). Si el modelo de Bohr estaba correcto, también sabía que la energía de un fotón emitido era igual a la diferencia entre los niveles superior e inferior de energía involucrados en el proceso. Así que tenía una relación entre niveles de energía y las frecuencias de los fotones...

Pero la fórmula de Balmer especificaba la longitud de onda y no la frecuencia.

Ah, pero no olvide que las dos están relacionadas. La velocidad de la onda es igual al producto de su longitud de onda por su frecuencia, como le explicaba a Kyla anteriormente.Un fotón, o emisión de radiación electromagnética, viaja a la velocidad de la luz, c.

Ah, si.


Exactamente,-- y puesto que sabemos que


se deduce que


a partir de la fórmula de Balmer.  Ahora, podemos describir los niveles de energía en términos de la energía cinética y potencial de los electrones:


donde m es la masa del electrón, y v y r son su velocidad y el radio orbital en los niveles superior e inferior.

Estoy comenzando a ver dónde puede entrar el momento angular en esta ecuación. Si el electrón está en una órbita circular, entonces


lo cual significa que

correcto?

Absolutamente. De modo que ahora se puede escribir todo en términos de r y L:


Para encontrar el valor de r , podemos aplicar la segunda Ley de Newton, F=ma, al electrón. La fuerza sobre el electrón se puede hallar aplicando la Ley de Coulomb:


Si el electrón se encuentra en un movimiento circular uniforme, su aceleración es


so


Sustituyendo el valor para v que se obtuvo en la ecuación(6) y resolviendo para r, encontramos que


Con todo en términos de L, obtenemos una ecuación más manejable


lo que significa, a partir de la ecuación (3), que


Los dos lados de la ecuación parecen bastante similares. Dentro de los paréntesis ambos lados tienen 1 sobre algo al cuadrado menos 1 sobre algo más al cuadrado y todo lo que hay fuera de los paréntesis a la izquierda es solamente una constante. Así que deberíamos poder seleccionar un valor de L que hiciera los dos lados exactamente iguales...

Eso fué precisamente lo que hizo Bohr. Parecía lógico asumir que los términos al cuadrado en la derecha estuvieran relacionados con su idea de niveles de energía. El asoció cada nivel d energía con un entero, llamado (original...) n--con n=1 correspondiendo al nivel inicial (el más bajo nivel posible de energía). Así el 2 y el n en la serie de Balmer podían representar electrones cayendo del enésimo nivel al segundo...

Ya lo comprendo--así que la línea de 656 nm debería ser producida por un electrón cayendo del tercer nivel de energía al segundo y así a continuación. Y entonces la serie de Lyman provendría de electrones cayendo al primer nivel de energía y en la serie de Paschen estarían cayendo al tercer nivel-- esto tiene mucho sentido!

Verdad que si? Bohr se dió cuenta de que todo trabajaría lindamente si él asumía simplemente que el momento angular en el enésimo nivel de energía era igual a n veces alguna constante. Para hallar la constante, todo lo que tenía que hacer era hallar el valor que hiciera verdadera la ecuación(13). Resulta que el valor que funciona es


Esto implica que


Si se introducen los valores de todas las constantes fundamentales--la velocidad de la luz, la carga y masa del electrón, etc.-- se termina con el valor de la Constante de Rydberg que había sido obtenido experimentalmente.